Apredendo um pouco sobre matriz – Aula – parte 1

Importância do estudo das matrizes. Matrizes no cotidiano.

As matrizes surgiram da necessidade de resolver problemas, que envolviam mensuração de terras, agricultura, impostos e etc., os quais resultavam em sistemas de equações de 1º grau.

Hoje em dia, as matrizes têm uma importância muito significativa no campo das aplicações em Matemática, especialmente na Álgebra Linear e Computação Gráfica. Também são muito utilizadas em nosso cotidiano, por exemplo, na organização de dados, como a tabela de um campeonato (figura abaixo), calendário, ficha de aposta de loteria e até a tela do computador que você observa agora é formada por pixels gerado por uma matriz.

Observe que os dados (quantidade de jogos, vitórias, empates e derrotas) referentes a cada time está descrito na tabela.Matriz de ordem 4x5 a qual representa a tabela dada acima.

Matriz de ordem 4 por 5 gerada pela tabela dada acima.

Definição de matriz. Representação de uma matriz.
Agora, vamos definir formalmente o significado de matriz:

Definição

Temos algumas observações a respeito dessa definição:
1) Quando falamos que uma matriz é uma lista de números representada por um quadro numérico, isso significa que uma matriz é nada mais que uma tabela de números dispostos, onde essa tabela tem de 1 a m linhas, e de 1 a n colunas.
2) Os números que estão dispostos na tabela que representa a matriz são chamados de entradas da matriz, cada entrada pode ser um número complexo (mas aqui trabalharemos apenas com entradas determinadas por números reais), uma função de uma variável real (polinomial, exponencial, logarítmica, trigonométricas e etc.) ou até outras matrizes.

Entradas de uma matriz, na matriz à esquerda entradas representadas por funções, à direita uma matriz com entradas representadas por outras matrizes.

3) É comum definirmos as entradas de uma matriz através de uma regra de associação, essa regra associa a cada par (linha, coluna) um número real, isto é, teremos uma função a:{1,2,…m}×{1,2,…n} → ℝ a qual é definida por a(i,j) = a_ij.
4) A tabela que representa a matriz deve ser representa entre parênteses ou colchetes, raramente se usa a notação de barras duplas. Aqui usaremos apenas a notação de colchetes.

No link abaixo, temos exercícios (com alguns resolvidos e outros não) para treinar um pouco mais o conteúdo já desenvolvido. Os exercícios abordam conceitos teóricos, e um pouco sobre aplicações.

Exercícios – parte 1

Apredendo um pouco sobre Matrizes – Aula – parte 2

Tipos de Matrizes.

A seguir, defiremos os principais tipos de matrizes estudadas no Ensino Médio:

Matriz quadrada é toda matriz cujo número de linhas é igual ao número de colunas, isto é, se A é uma matriz de ordem m por n, então m=n. E nesse caso indicamos a ordem da matriz A simplesmente por n.

exemplo:

Observe que em todas as matrizes o número de linhas é sempre igual ao número de colunas.

Matriz identidade é a matriz quadrada de ordem n, que se indica por I, tal que todos os elementos da sua diagonal principal são iguais a 1, e todos os demais elementos são iguais a zero.

exemplo:

Observe que não importa qual seja a ordem, os elementos da diagonal principal serão todos iguais a 1.

Matriz nula é matriz cuja todas as entradas são nulas, isto é, todos os elementos da matriz são iguais a zero.

exemplo:

Toda entada da matriz nula é igual a zero.

Igualdade entre Matrizes. Adição de Matrizes.

Antes de definirmos a adição entre matrizes, é necessário definir a igualdade entre matrizes:

Definição Duas matrizes A e B são dita iguais, quando possuem mesma ordem, e todos os seus elementos correspondentes são iguais.

Definição (Adição de matrizes): A soma de duas matrizes A e B de ordem mxn é uma matriz de ordem mxn, denotada por A + B, cujos elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B, isto é, A + B = [a_ij + b_ij].
Para deixarmos mais clara a definição, observe o seguinte exemplo, ao qual mostra uma aplicação da soma entre matrizes.

exemplo:

Nas tabelas a seguir temos a descrição da quantidade de grãos produzidos, em três regiões, nos anos de 2005 e 2006.

Como poderíamos montar uma tabela que dê a produção por produto e região nos dois anos conjuntamente?

Representemos cada tabela dada por uma matriz, digamos que a matriz da produção do ano de 2005 seja a matriz P2005 e a de 2006 a matriz P2006, conforme a figura abaixo. Ao somarmos as duas matrizes, obtemos uma nova matriz, a qual nos fornece a produção nos dois anos conjuntamente.

Ao somarmos essas matrizes, obtemos a produção total dos anos de 2005 e 2006.

Multiplicação de um escalar por uma matriz.

Suponhamos que houvesse uma crise devido à condição climática desfavorável de tal forma que a previsão à safra de 2007 seja a metade de 2005, então qual será a estimativa de produção de 2007?

Observe que para obtermos a estimava de produção para o ano de 2007, basta multiplicarmos a matriz que representa a produção de 2005 por ½, conforme a figura acima. A esta operação denominamos multiplicação por escalar. Definimos essa operação da seguinte forma:

Definição (Multiplicação de um escalar por uma matriz): Dado um k ∊ ℝ e uma matriz A de ordem mxn. Chama-se o produto k• A a matriz B tal que b_ij = k · a_ij.
De forma clara, para determinarmos a matriz B obtida através da multiplicação de um número real k pela matriz A, basta multiplicar esse número por cada entrada da matriz A.

No link abaixo, temos exercícios (com alguns resolvidos e outros não) para treinar um pouco mais o conteúdo já desenvolvido. Os exercícios abordam conceitos teóricos, e um pouco sobre aplicações.

Exercícios – parte 2

Para compreender melhor os conceitos abordados sobre matrizes, clique aqui e assista o vídeo!